Completación de Espacios Pre-casi-uniformes - Pimienta Acosta, Adolfo Javier (Universidad Autónoma Metropolitana, 2016)
En el primer capítulo, se definen los conceptos básicos de la teoría de espacios preuniformes, tipos importantes de pre-uniformidades, filtros de Cauchy y tipos especiales de filtros de Cauchy. También nos concentramos en el estudio de espacios pre-uniformes completos, por ´ultimo analizamos y nos enfocamos en la existencia de la completación de todo espacio T2-pre-uniforme. El segundo capítulo contiene las definiciones básicas de la teoría de espacios casi-uniformes, plasmada en algunos hechos importantes y algunos ejemplos. También analizamos una de las muchas técnicas de completación de esta teoría, apoyándonos en el siguiente concepto de filtro de Cauchy: Un filtro de F sobre un espacio casi-uniforme (X, U) se dice Pervin-Sieber o filtro PS-Cauchy (ver [50]) si para cada U ∈ U existe x ∈ X tal que U(x) ∈ F. Una ventaja obvia de esta definición es que todo filtro τU-convergente posee esta propiedad. Un espacio casi-uniforme (X, U) es llamado PS-completo, si todo filtro PS-Cauchy tiene un punto adherente. En el tercer capítulo de nuestra tesis se basa en el estudio de las bases anulares, es decir una base B de un espacio topológico (X, τ ) que es cerrada bajo uniones e intersecciones finitas. También estudiamos las casi-uniformidades y casi-proximidades transitivas, es decir casi uniformidades con la propiedad de que cada U ∈ U cumple que U 2 = U. En este capítulo probamos que existe una biyección entre el conjunto de todas las bases anulares de un espacio topológico (X, τ ) y el conjunto de todas las casi-proximidades transitivas sobre X que inducen a τ . Se establecen algunas propiedades de los espacios topológicos (X, τ ) las cuales implican que τ es la única base anular, respondiendo parcialmente al problema planteado en ([12], Problema B). Finalmente en el capítulo cuatro estudiamos las estructuras pre-casi-uniformes. Estas estructuras son estructuras más generales que las estructuras casi-uniformes con la ventaja de que cada espacio pre-casi-uniforme tiene una extensión canónica en la que cada filtro minimal Cauchy es filtro de vecindades de alguno de sus puntos. Este tipo débil de completación puede mejorarse se requiere que el espacio original posea algunas propiedades adicionales: por ejemplo, la extensión canónica es completa por convergencia si y solo si todo filtro de cauchy en el espacio original tiene un subfiltro el cual es minimal Cauchy.