Grupos topológicos d-independientes y algunas propiedades sobre redes numerables en el grupo maximal de Malykhin - Márquez Rodríguez, Edgar (Universidad Autónoma Metropolitana, 2024)
El presente trabajo está centrado en el área de los grupos topológicos. Una parte de este trabajo está dedicada al estudio de los grupos topológicos llamados d-independientes. Dado un grupo topológico G de cardinalidad mayor o igual que c, se dice que G es un grupo d-independiente si para cada subgrupo S de G tal que |S| < c, existe un subgrupo denso y numerable H de G tal que S ∩H = {eG}, donde eG es el elemento identidad de G. Algunos ejemplos de grupos d-independientes son el grupo de los números reales R y el grupo del circulo unitario de los números complejos T. Uno de los principales objetivos de la tesis es dar una caracterización de los grupos abelianos, compactos y metrizables que son d-independientes. Dicha caracterización aparece en el teorema 3.3.1 y establece que un grupo topológico compacto y metrizable G es d-independiente si y solo si G es máximamente fragmentable si y solo si G es un M-grupo si y solo si el grupo G contiene elementos de orden infinito o bien G es un grupo acotado, con la descomposición G = Lk i=1 Gpi en la suma directa de sus componentes piprimarias, donde p1, . . . , pk son números primos distintos dos a dos y para todo i ≤ k y n ∈ N +, se cumple que |p n i Gpi | = c o |p n i Gpi | = 1. La segunda parte de este trabajo está dedicada al estudio del siguiente problema: ¿Es verdad que cualquier grupo topológico (abeliano) numerable y no discreto tiene una red numerable con elementos infinitos? Este problema surge de manera natural como complemento a [34, Lemma 2.27], en donde se establece que si un grupo topológico abeliano G tiene una red numerable, el grupo G tiene cardinalidad κ y cf(κ) > ω, entonces G tiene una red numerable N tal que |N| = κ, para cada N ∈ N. Usaremos el grupo maximal de Malykhin (G, TM) del teorema 4.2.5 y la propiedad de no resolubilidad de los espacios topológicos maximales para demostrar que bajo p = c (ver [12]), el grupo topológico numerable y no discreto (G, TM ) no admite una red numerable con elementos infinitos