La hipótesis de Riemann en campos de funciones - Rodríguez Salvador, María Liliana (Universidad Autónoma Metropolitana, 2011)
La Hipótesis de Riemann en Campos de Funciones es el análogo, ya resuelto, en campos de funciones de la famosa Hipótesis de Riemann. La definición de la función zeta ζK(s) de un campo de funciones K proviene de la extensión natural de la función usual de Riemann: ζ(s) = X∞ n=1 1 ns . Se sabe que ζ(s) tiene una extensión meromorfa al plano complejo, con un único polo en s = 1, el cual es simple con residuo 1. Más aún, ζ(s) tiene ceros en s = −2n, n ∈ N y éstos son llamados los ceros triviales de ζ(s). Por otro lado, ζ(s) no tiene ceros diferentes a los triviales en C\{s | 0 ≤ Re s ≤ 1}. La Hipótesis de Riemann establece que los ceros de ζ(s), aparte de los triviales, están en la recta Re s = 1 2 . La Hipótesis de Riemann sigue siendo un problema abierto. Sin embargo, para campos de funciones congruentes (es decir, cuyo campo de constantes es finito) la respuesta sí se conoce y es positiva. Esto fue demostrado por André Weil en 1941. Teorema (Hipótesis de Riemann en Campos de Funciones). Sea K/k un campo de funciones congruente. Entonces, los ceros de la función zeta ζK(s) están en la línea Re s = 1 2 . Como consecuencia tenemos que si K/k es un campo de funciones congruente, donde |k| = q, N1 el número de divisores primos de grado 1 en K y g el género de K, entonces |N1 − (q + 1)| ≤ 2g √ q. En el trabajo de tesis se presentan una demostración, basada en la de Enrico Bombieri, de la Hipótesis de Riemann en Campos de Funciones y algunas aplicaciones de este resultado, entre ellas: si K es un campo de funciones congruente de género 0, entonces K es un campo de funciones racionales. También, se presentan todos los posibles campos de funciones congruentes K con número de clases 1 y género mayor que 0.