Estabilización global asintótica de sistemas con control acotado - Martínez Pérez, Héctor Alfredo (Universidad Autónoma Metropolitana, 2024)
La base teórica de las funciones de Lyapunov clf, derivada de la teoría de Lyapunov y los resultados de estabilización para sistemas de control no lineales de Zvi Artstein (1983) y Eduardo Sontag (1983), permite el estudio de problemas de estabilización para sistemas con parámetros de control restringidos a conjuntos convexos. Para abordar la síntesis correspondiente, tratamos los conjuntos convexos como conjunto de valores admisibles (cvs), donde nuestras funciones de retroalimentación permitidas son todas aquellas funciones continuas que pertenecen a estos cvs. Específicamente, nos centramos en conjuntos convexos no estrictos, como los politopos, y particularmente asumimos al zonotopo k-dimensional como el conjunto de valores admisibles. En general, proporcionamos condiciones suficientes para estabilizar un sistema afín en el control. En particular, ofrecemos una solución de síntesis explícita para el problema de estabilización cuando el zonotopo es el cvs para el control, incluido el caso extremo de controles positivos. Esta síntesis de control es usado para estabilizar global y asintóticamente dos sistemas de gran importancia, un sistema de Rössler y el de Lorenz. Sabemos que el sistema de Lorenz es complejo, pues a partir de ciertos parámetros surge “caos”, así, con la intención de tener una mejor comprensión de este último sistema, resolvemos primero el problema de hacer gas un sistema de Rössler, pues O. Rössler presentó en los años 70 un conjunto de ecuaciones diferenciales en espacios de fase tridimensional que tienen los mínimos ingredientes para el caos en tiempo continuo. Rössler ideó su sistema para comprender mejor el funcionamiento del sistema de Lorenz, así como otros tipos de dinámica caótica. También, dado que los atractores globales suelen ser asimétricos con respecto a los equilibrios del sistema no forzado (sin control), y que los desplazamientos de coordenadas no suelen conservar la estructura de estabilidad, usamos la “modificación” a la solución al “uniting clf problem”, propuesta en [1], para alcanzar la gas de (el equilibrio x¯ = 0) dichos sistemas. Además, para el sistema de Lorenz, hacemos un análisis de estabilidad del sistema controlado de Lorenz (4.22) y mostramos el diagrama de bifurcación de la coordenada x1 de los puntos fijos frente a distintos valores del parámetro de control, (v * ), finalmente, mostramos un segundo diagrama de bifurcación de las variables de estado x3 frente a distintos valores del parámetro v * .