Teorema de Eggleston en multifractales - Durán Meza, Gabriela (Universidad Autónoma Metropolitana, 2016)
El desarrollo de este trabajo comienza exponiendo las ideas principales de Benoit Mandelbrot, donde se explica de una forma breve el pensamiento que da origen a una geometría innovadora y necesaria para la caracterización de sistemas, fenómenos y formas complejas. Con la ayuda del trabajo del matemático Hausdorff y el físico Richardson, Mandelbrot crea una nueva geometría, llamada geometría fractal. El capítulo 1 habla acerca de los orígenes y construcción de esta geometría, además se describen conceptos como dimensión fractal y auto-similaridad que son básicos e importantes para el desarrollo de la Teoría Multifractal . En el capítulo 2 estudiamos y caracterizamos la descomposición multifractal geométrica del intervalo unitario I y para lograrlo el Teorema de Eggleston es elemental, pues permite la construcción de un puente entre la dimensión de Hausdorff y la entropía de frecuencias de I, además se muestra la fractalidad del intervalo unitario a través de los espectro ópticos que provienen de la agrupación de subconjuntos fractales de I. Posteriormente diferenciamos y describimos los Multifractales Geométricos y Multifractales Estadísticos, siendo los Multifractales Estadísticos mucho más complejos ya que en el capítulo 3 se introducen los conceptos de procesos multiplicativos y medida singular. Continuamos con un análisis detallado de las propiedades estadísticas de los procesos multiplicativos del intervalo uniario, donde introducimos un método peculiar para calcular los espectros de dimensiones multifractales, ya que usamos el pensamiento del científico Ludwin Boltzmann de la física estadística. A través de la formulación de Boltzmann y las propiedades matemáticas de la dimensión de Hausdorff calculamos el espectro de dimensiones, también llamado espectro de singularidades, que esta íntimamente relacionado con la información probabilística y geométrica de la separación multifractal de I, mediante el exponente de Holder y una nueva separación multifractal en conjuntos que a su vez son multifractales. En el capítulo 4 generalizamos las ideas del intervalo unitario a un fractal autosimilar, ya que cuando se define un multifractal estadístico sobre una cubierta que corresponde aun fractal autosimilar, se puede proyectar todo el análisis del intervalo unitario por medio de una ley de escalamiento. Demostramos que los espectros de dimensiones de fractales autosimilares son proporcionales a los espectros que provienen del intervalo unitario escrito en una base que corresponde al número de funciones que generan al fractal autosimilar. Introducimos los conceptos de funciones iteradas, los cuales caracterizan a los fractales autosimilares. Posteriormente calculamos los espectros ópticos y de dimensiones para el intervalo unitario en base 3 y el Triángulo de Sierpinski, con lo que describimos de forma clara sus similitudes y observaremos la importancia de llevar las ideas del intervalo unitario a fractales autosimilares.