Sistemas dinámicos generalizados - Montaño Morales, Genaro (Universidad Autónoma Metropolitana, 2018)
En cursos básicos de ecuaciones diferenciales, se estudian las condiciones para garantizar soluciones de problemas de valores iniciales (P.V.I). Es decir, sistemas de ecuaciones diferenciales con alguna condición inicial x0 ∈ X. Generalmente X = R n. En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales o incluso para ecuaciones diferenciales ordinarias sucede que no podemos garantizar existencia de soluciones. Y para las ecuaciones diferenciales (ordinarias o parciales) para las cuales sí se puede probar existencia ocurre el fenómeno de la pérdida de unicidad de las soluciones. Motivados por la existencia de varias soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias, buscamos una manera más general de definir un sistema dinámico generalizado dado por un mapeo multivaluado. Esto nos conduce a estudiar la teoría de mapeos multivaluados, y el método de Filippov para obtener soluciones a una ecuación diferencial sin unicidad que tengan al menos algunas de las propiedades usuales de una ecuación diferencial. Es decir, que la solución generalizada sea continua y satisfaga una ecuación diferencial en un sentido más amplio. Una vez estudiado el caso para ecuaciones diferenciales ordinarias sin unicidad de soluciones, pasamos al estudio de sistemas dinámicos generalizados. Estos aparecen como una generalización a los sistemas dinámicos generados por ecuaciones diferenciales con existencia y unicidad de soluciones. La teoría para sistemas dinámicos generalizados se ha desarrollado ampliamente debido a sus múltiples aplicaciones en el análisis de sistemas de evolución asociados a sistemas físicos. En la tesis se presentan las generalizaciones de algunos resultados clásicos para sistemas dinámicos. Principalmente los referentes al concepto de atractores globales. Este concepto es vital para el análisis de sistemas físicos porque reduce el estudio del sistema a un problema en dimensión finita en ciertos casos, incluso si el sistema tiene infinidad de variables. En el último capítulo de este trabajo presentamos un método original que nos permite estudiar bajo ciertas condiciones un sistema dinámico clásico discontinuo en el contexto de flujos generalizados.